On montre que \(H_k\) est un espace de Hilbert inclut dans les fonctions continues: Par le théorème spectral la famille des
\((\psi_1,\psi_2,....)\) forment une base Hilbertienne de
\(L_{\mu}^2(V)\) par conséquent on peut donc écrire tout élément
\(f(x)\) de
\(L^2\) sous la forme
\(f(x)= \sum_{i=1}^{\infty} a_i \psi_i(x)\text{.}\) On prend maintenant une transformation
\(I_k: L_{\mu}^2 \rightarrow H_k\) qui associe:
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{\infty} a_i \psi_i(x) \rightarrow \sum_{i=1}^{\infty} \underbrace{a_i\sqrt{\lambda_i}}_{b_i} \psi_i(x)
\end{equation*}
On voit bien en effet que la fonction obtenue est dans
\(H_k\text{,}\) car
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{\infty} \frac{b_i^2}{\lambda_i}= \sum_{i=1}^{\infty} a_i^2 \lt \infty
\end{equation*}
L’application
\(I_k\) est isomorphisme entre les deux espaces donc on obtient que
\(H_k\) est un espace de Hilbert. Maintenant il faut montrer qu’il est inclus dans l’espace des fonctions continues afin d’obtenir l’existence du noyau reproduisant par la 3ème prorpriété de
Théorème 3.83. On a
\begin{equation*}
\mid f(x)\mid = \mid \sum_{i=1}^{\infty} a_i \psi_i(x) \mid =
\mid \sum_{i=1}^{\infty} \frac{a_i}{\sqrt{\lambda_i }} \sqrt{\lambda_i }\psi_i(x) \mid
\end{equation*}
On utilise Cauchy-Schwarz pour obtenir
\begin{equation*}
\mid f(x)\mid \le \Biggl(\sum_{i=1}^{\infty} \frac{a_i^2}{\lambda_i }\Biggr)^\frac12
\Biggl(\sum_{i=1}^{\infty} \lambda_i \psi_i^2(x) \Biggr)^\frac12
\end{equation*}
Par définition du noyau et du produit scalaire on obtient
\begin{equation*}
\mid f(x)\mid \le \Norm f\Norm_{H_k} k(x,x)^\frac12
\end{equation*}
On a donc la convergence dans
\(H_k\) qui implique la convergence uniforme. Soit
\(f=\sum_{i=1}^{\infty} a_i \psi_i(x)\in H_k\) on introduit la suite obtenu par troncature de
\(f\text{:}\)
\begin{equation*}
f_n=\sum_{i=1}^{n} a_i \psi_i(x) \in H_k
\end{equation*}
On va maintenant montrer que
\(f \in H_k\) est en pratique continue. L’opérateur
\(L_k\) étant continu et puisque
\(\psi_i =\frac{1}{\lambda_i}L_k \psi_i\) on a que les vecteurs propres sont des fonctions continues donc c’est aussi le cas pour
\(f_n\text{.}\) On va maintenant utiliser que la convergence
\(H_k\) implique la convergence uniforme (espace des fonctions connues). On considère
\begin{equation*}
\mid f_n -f_m\mid \le C \Norm f_n -f_m\Norm_{H_k}
\end{equation*}
donc
\begin{equation*}
\underset{n,m\rightarrow \infty}{lim}\mid f_n -f_m\mid \le C \underset{n,m\rightarrow \infty}{lim}\Norm f_n -f_m\Norm_{H_k}
\end{equation*}
Puisqu’on sait que
\(f_n\) converge dans
\(H_k\) on a
\(\underset{n,m\rightarrow \infty}{lim}\Norm f_n -f_m\Norm_{H_k} =0\) donc on a
\begin{equation*}
\underset{n,m\rightarrow \infty}{lim}\mid f_n -f_m\mid =0
\end{equation*}
Puisque
\(f_n\) est continue on a donc une suite de cauchy dans l’espace des fonctions continue et par complétude elle convergence vers une fonction continue. On nomme la limite continue
\(f_c\text{.}\) Cette fonction appartient à
\(L_{\mu}^2(V)\) car les fonctions continues sur un compact sont bornés et donc sont de carré intégrable si la mesure est finie. Maintenant on souhaite montrer que
\(f_c\) coindice avec
\(f\text{.}\) Donc
\begin{equation*}
\Norm f_n -f_c \Norm_{L_{\mu}^2} \underset{n\rightarrow \infty }{\rightarrow \infty 0}
\end{equation*}
On remarque ensuite que pour une fonction
\(f\in H_k\)
\begin{equation*}
\Norm f\Norm_{{L_{\mu}^2}}^2=\sum_{i=1}a_i^2 \leq \lambda_1 \sum_{i=1}\frac{a_i^2}{\lambda_i} = \Norm f\Norm_{H_k}^2
\end{equation*}
car
\(\frac{\lambda_1}{\lambda_i}\ge 1, \forall i\text{.}\) On a donc pour
\(f=\sum_{i=1}^{\infty} a_i \psi_i(x)\)
\begin{equation*}
\Norm f_n -f \Norm_{{L_{\mu}^2}} \le \lambda_1\Norm f_n -f \Norm_{H_k} \underset{n\rightarrow \infty }{\rightarrow 0}
\end{equation*}
et par unicité de la limite dans
\(L_{\mu}^2\) on a
\(f=f_c\) donc les fonctions de
\(H_k\) sont bien continues. Ensuite il va suffire de vérifier les deux propriétés de la
Définition 3.78.
